难度: Easy
超市正在促销，你可以用 numExchange 个空水瓶从超市兑换一瓶水。最开始，你一共购入了 numBottles 瓶水。
如果喝掉了水瓶中的水，那么水瓶就会变成空的。
给你两个整数 numBottles 和 numExchange ，返回你 最多 可以喝到多少瓶水。
示例 1：
输入：numBottles = 9, numExchange = 3
输出：13
解释：你可以用 3 个空瓶兑换 1 瓶水。
所以最多能喝到 9 + 3 + 1 = 13 瓶水。
示例 2：
输入：numBottles = 15, numExchange = 4
输出：19
解释：你可以用 4 个空瓶兑换 1 瓶水。
所以最多能喝到 15 + 3 + 1 = 19 瓶水。
提示：
1 <= numBottles <= 1002 <= numExchange <= 100运行时间: 18 ms
内存: 16.1 MB
class Solution:
def numWaterBottles(self, numBottles: int, numExchange: int) -> int:
total_bottles = numBottles # 已经喝过的瓶子数（包括兑换的）
empty_bottles = numBottles # 当前的空瓶子数
while empty_bottles >= numExchange:
new_bottles = empty_bottles // numExchange # 可以兑换的新瓶子数
total_bottles += new_bottles # 更新已经喝过的瓶子数
empty_bottles = empty_bottles % numExchange + new_bottles # 更新剩余的空瓶子数
return total_bottles
此题解采用了模拟的方法来计算可以喝到的水的总瓶数。初始情况下，总喝水瓶数等于开始购买的水瓶数。在每次迭代中，首先检查当前空瓶的数量是否足以进行至少一次兑换。如果可以，则根据兑换比率计算出新兑换得到的水瓶数，并将这些新瓶加入到总瓶数中。同时更新空瓶数，新的空瓶数是未兑换的空瓶加上新兑换的水瓶产生的空瓶。重复此过程，直到空瓶不足以兑换一瓶水为止。
时间复杂度: O(log_{numExchange}(numBottles))
空间复杂度: O(1)
class Solution:
def numWaterBottles(self, numBottles: int, numExchange: int) -> int:
total_bottles = numBottles # 初始化总喝水瓶数为开始的瓶数
empty_bottles = numBottles # 初始化空瓶数也为开始的瓶数
while empty_bottles >= numExchange: # 当空瓶数足够兑换时继续
new_bottles = empty_bottles // numExchange # 计算可以兑换的新瓶数
total_bottles += new_bottles # 更新总喝水瓶数
empty_bottles = empty_bottles % numExchange + new_bottles # 更新空瓶数
return total_bottles # 返回最终的总喝水瓶数
题解中的迭代次数基于每次兑换减少空瓶的数量的假设。每次兑换，你使用numExchange个空瓶换一瓶新水，因此每次兑换后剩余的空瓶数量减少。这个过程是对数的，因为每次兑换都是按比例减少空瓶数，空瓶数每次都减少到原来的numExchange分之一左右，所以整体迭代次数与numExchange的对数成正比。
如果numBottles小于numExchange，题解中的算法仍然能正确处理。在这种情况下，循环条件（empty_bottles >= numExchange）一开始就不成立，因此不会进入兑换循环，算法直接返回初始的numBottles作为结果。这意味着没有足够的空瓶来进行任何兑换，所以总喝水瓶数等于最初购买的瓶数。
实际上，题解的表述可能有所误导。每次迭代后，空瓶的数量不是简单地减少到原来的numExchange分之一，而是由两部分组成：未用于兑换的剩余空瓶（empty_bottles % numExchange）和新兑换的水瓶产生的空瓶（new_bottles）。这意味着空瓶数的减少是因为一部分空瓶被用来兑换新的水瓶，而每次兑换都会产生更少的新空瓶。
在题解中没有采用递归方法，可能是因为递归方法在处理大数据量时可能会导致栈溢出，特别是在深度很大的递归调用中。递归方法虽然在理解和实现上可能更直接，但它需要额外的栈空间存储每一层递归调用的状态，而迭代方法通常更节省内存，执行效率也可能更高。因此，在处理可能需要大量迭代的问题时，迭代方法往往是更稳妥的选择。