将三个组排序

难度: Medium

给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 nums 。

从 0 到 n - 1 的数字被分为编号从 1 到 3 的三个组，数字 i 属于组 nums[i] 。注意，有的组可能是空的。

你可以执行以下操作任意次：

选择数字 x 并改变它的组。更正式的，你可以将 nums[x] 改为数字 1 到 3 中的任意一个。

你将按照以下过程构建一个新的数组 res ：

将每个组中的数字分别排序。
将组 1 ，2 和 3 中的元素依次连接以得到 res 。

如果得到的 res 是 非递减顺序的，那么我们称数组 nums 是 美丽数组 。

请你返回将 nums 变为 美丽数组 需要的最少步数。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3,2,1]
输出：3
解释：以下三步操作是最优方案：
1. 将 nums[0] 变为 1 。
2. 将 nums[2] 变为 1 。
3. 将 nums[3] 变为 1 。
执行以上操作后，将每组中的数字排序，组 1 为 [0,1,2,3,4] ，组 2 和组 3 都为空。所以 res 等于 [0,1,2,3,4] ，它是非递减顺序的。
三步操作是最少需要的步数。

示例 2：

输入：nums = [1,3,2,1,3,3]
输出：2
解释：以下两步操作是最优方案：
1. 将 nums[1] 变为 1 。
2. 将 nums[2] 变为 1 。
执行以上操作后，将每组中的数字排序，组 1 为 [0,1,2,3] ，组 2 为空，组 3 为 [4,5] 。所以 res 等于 [0,1,2,3,4,5] ，它是非递减顺序的。
两步操作是最少需要的步数。

示例 3：

输入：nums = [2,2,2,2,3,3]
输出：0
解释：不需要执行任何操作。
组 1 为空，组 2 为 [0,1,2,3] ，组 3 为 [4,5] 。所以 res 等于 [0,1,2,3,4,5] ，它是非递减顺序的。

提示：

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 3

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class Solution:
    def minimumOperations(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0, 0, 0]

        for i in range(n):
            nxt = [inf] * 3
            if nums[i] == 1:
                nxt = [dp[0], min(dp[0], dp[1]) + 1, min(dp) + 1]
            elif nums[i] == 2:
                nxt = [dp[0] + 1, min(dp[0], dp[1]), min(dp) + 1]
            else:
                nxt = [dp[0] + 1, min(dp[0], dp[1]) + 1, min(dp)]
            dp = nxt

        return min(dp)

Explain

该题解采用动态规划来解决问题。定义一个dp数组，其中dp[j]表示将数组nums的前i个元素调整成j+1组的最小操作次数。对于每个元素nums[i]，根据它当前的值，更新下一个状态nxt。具体地，若nums[i]为1，则将其保持在组1是不需要操作的，而移动到组2或组3则至少需要一次操作。类似的逻辑应用于当nums[i]值为2或3时。通过遍历整个数组，不断更新dp数组，最后返回dp数组中的最小值，即为将整个数组调整到最终状态的最小操作次数。

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def minimumOperations(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)  # 获取数组长度
        dp = [0, 0, 0]  # 初始化动态规划数组

        for i in range(n):  # 遍历每个元素
            nxt = [float('inf')] * 3  # 初始化下一个状态的最大值
            if nums[i] == 1:
                # 如果当前元素属于组1
                nxt = [dp[0], min(dp[0], dp[1]) + 1, min(dp) + 1]
            elif nums[i] == 2:
                # 如果当前元素属于组2
                nxt = [dp[0] + 1, min(dp[0], dp[1]), min(dp) + 1]
            else:
                # 如果当前元素属于组3
                nxt = [dp[0] + 1, min(dp[0], dp[1]) + 1, min(dp)]
            dp = nxt  # 更新dp数组

        return min(dp)  # 返回dp数组中的最小值，即最小操作次数

Explore

动态规划是解决该问题的有效方法，因为问题本质上涉及到状态转移和决策优化。每个元素可以属于三个不同的组，我们需要找到一种最少的操作方式，使得整个数组符合最终的组排序。动态规划能够通过逐步构建解决方案，逐个元素地进行决策，并记录下每种决策的代价，从而找到全局最优解。此外，问题的子问题重叠，即前一个元素的最优决策影响到下一个元素的决策，这是动态规划适用的典型场景。

这种更新逻辑基于最小化操作次数的原则。当`nums[i]`等于1时，它本身已经属于组1，所以维持在组1的操作次数是0 (`dp[0]`)。如果要变更到组2，可以从当前已经是组1的状态（`dp[0]`）或者已经是组2的状态（`dp[1]`）进行变更，由于变更组需要额外操作，所以取这两者的最小值然后加1。对于变更到组3的操作，因为可以从任意组变更过来，所以我们取三个状态的最小值再加1。这样的逻辑确保了每一步的操作都是基于当前最优决策。

在动态规划中，`nxt = [float('inf')] * 3`用于在每个阶段保存更新后的状态，即每个元素处理后的最小操作次数。初始化为无穷大是为了确保在进行状态更新时，任何一个实际的操作次数（都是非负数）都会小于无穷大，这样就可以通过比较保证找到真实的最小操作次数。这种初始化方法是常见的技巧，用于简化代码逻辑并确保更新过程中总是获取到有效的最小值。