蛇梯棋

难度: Medium

给你一个大小为 n x n 的整数矩阵 board ，方格按从 1 到 n² 编号，编号遵循转行交替方式，从左下角开始 （即，从 board[n - 1][0] 开始）每一行交替方向。

玩家从棋盘上的方格 1 （总是在最后一行、第一列）开始出发。

每一回合，玩家需要从当前方格 curr 开始出发，按下述要求前进：

选定目标方格 next ，目标方格的编号符合范围 [curr + 1, min(curr + 6, n²)] 。
- 该选择模拟了掷 六面体骰子 的情景，无论棋盘大小如何，玩家最多只能有 6 个目的地。
传送玩家：如果目标方格 next 处存在蛇或梯子，那么玩家会传送到蛇或梯子的目的地。否则，玩家传送到目标方格 next 。
当玩家到达编号 n² 的方格时，游戏结束。

r 行 c 列的棋盘，按前述方法编号，棋盘格中可能存在 “蛇” 或 “梯子”；如果 board[r][c] != -1，那个蛇或梯子的目的地将会是 board[r][c]。编号为 1 和 n² 的方格上没有蛇或梯子。

注意，玩家在每回合的前进过程中最多只能爬过蛇或梯子一次：就算目的地是另一条蛇或梯子的起点，玩家也不能继续移动。

举个例子，假设棋盘是 [[-1,4],[-1,3]] ，第一次移动，玩家的目标方格是 2 。那么这个玩家将会顺着梯子到达方格 3 ，但不能顺着方格 3 上的梯子前往方格 4 。

返回达到编号为 n² 的方格所需的最少移动次数，如果不可能，则返回 -1。

示例 1：

输入：board = [[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,35,-1,-1,13,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,15,-1,-1,-1,-1]]
输出：4
解释：
首先，从方格 1 [第 5 行，第 0 列] 开始。 
先决定移动到方格 2 ，并必须爬过梯子移动到到方格 15 。
然后决定移动到方格 17 [第 3 行，第 4 列]，必须爬过蛇到方格 13 。
接着决定移动到方格 14 ，且必须通过梯子移动到方格 35 。 
最后决定移动到方格 36 , 游戏结束。 
可以证明需要至少 4 次移动才能到达最后一个方格，所以答案是 4 。

示例 2：

输入：board = [[-1,-1],[-1,3]]
输出：1

提示：

n == board.length == board[i].length
2 <= n <= 20
grid[i][j] 的值是 -1 或在范围 [1, n²] 内
编号为 1 和 n² 的方格上没有蛇或梯子

Submission

运行时间: 36 ms

内存: 16.8 MB

class Solution:
    def snakesAndLadders(self, board: List[List[int]]) -> int:
        n = len(board)
        graph = {}
        isodd_line = False
        cur_id = 0
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            isodd_line = not isodd_line
            for j in (range(n) if isodd_line else range(n - 1, -1, -1)):
                cur_id += 1
                if board[i][j] != -1:
                    graph[cur_id] = board[i][j]

        # BFS
        visited = set()
        queue = [(1, 0)]
        while queue:
            cur, step = queue.pop(0)
            max_norm_nxt = None
            for i in range(1, 7):
                nxt = cur + i
                if nxt > n * n: break
                if nxt in graph:            
                    nxt = graph[nxt]        
                    if nxt not in visited:
                        visited.add(nxt)
                        queue.append((nxt, step + 1))
                else:
                    if nxt not in visited:
                        visited.add(nxt)    
                        max_norm_nxt = nxt
                if nxt == n * n: return step + 1
            if max_norm_nxt:
                queue.append((max_norm_nxt, step + 1))
        
        return -1

Explain

题解采用广度优先搜索（BFS）策略来解决蛇梯棋问题。首先，将棋盘转换成图的形式，使用字典存储蛇或梯子的映射。这个映射记录从当前位置可以直接到达的目标位置（如果有蛇或梯子的话）。随后使用BFS遍历所有可能的路径，寻找到达终点的最短路径。每一次投掷骰子，模拟1至6步的移动，检查每一个可能的目标位置，若有蛇或梯子，则直接跳转，否则移动到该格子。如果到达终点则立即返回所需的移动次数。若遍历完所有可能性都无法到达终点，则返回-1。

时间复杂度: O(n^2)

空间复杂度: O(n^2)

class Solution:
    def snakesAndLadders(self, board: List[List[int]]) -> int:
        n = len(board)
        graph = {}
        isodd_line = False
        cur_id = 0
        # 创建编号到梯子或蛇的映射
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            isodd_line = not isodd_line
            for j in (range(n) if isodd_line else range(n - 1, -1, -1)):
                cur_id += 1
                if board[i][j] != -1:
                    graph[cur_id] = board[i][j]
        # 使用BFS寻找到达终点的最短路径
        visited = set()
        queue = [(1, 0)]
        while queue:
            cur, step = queue.pop(0)
            max_norm_nxt = None
            # 模拟投掷骰子，探索所有可能的移动
            for i in range(1, 7):
                nxt = cur + i
                if nxt > n * n: break
                if nxt in graph:
                    nxt = graph[nxt]
                if nxt not in visited:
                    visited.add(nxt)
                    queue.append((nxt, step + 1))
                if nxt == n * n: return step + 1
            # 优化：记录未被蛇或梯子影响的最远移动
            if max_norm_nxt:
                queue.append((max_norm_nxt, step + 1))
        return -1

Explore

在将棋盘转换成图的过程中，`graph`字典的键表示棋盘上的一个格子编号，值则表示该格子通过蛇或梯子直接到达的另一个格子的编号。构建过程如下：1. 首先确定棋盘大小`n`，然后从棋盘的底部行开始向上遍历，对于每一行，根据其行号的奇偶性决定是从左到右还是从右到左进行编号。2. 对于每个格子，如果其中有蛇或梯子（即棋盘上的数不等于-1），则在`graph`中创建一个映射，键为格子的编号，值为棋盘上指示的可以直接到达的格子编号。这样，当遍历到某个格子时，可以直接通过`graph`查看是否可以通过蛇或梯子到达其他格子。

广度优先搜索（BFS）是寻找最短路径的理想选择，因为它按层次遍历所有的节点，从而保证了一旦到达终点，所走的步数是最少的。对于蛇梯棋问题，我们的目标是找到从起点到终点的最短路径。相比之下，深度优先搜索（DFS）可能会陷入某一个路径的深度探索中，不容易直接找到最短路径，且在路径较长的棋盘中效率较低。

这个描述在代码中确实没有对应的实现，看起来像是一个遗漏或者在最终实现中被认为不必要而省略的部分。原意可能是想通过记录在没有蛇或梯子影响下可以达到的最远距离来做进一步的优化，但在实际实现中并没有体现出来。因此，这可能是文档和代码不同步的一个例子。

在使用BFS时，一旦到达终点，即可保证找到的路径是最短的，因为BFS是按照从近到远的顺序访问所有节点的。一旦某条路径到达了终点，就意味着没有其他更短的路径存在，因为如果有更短的路径，它会在之前的层次中已被发现。因此，在BFS中一旦到达终点就可以确定已找到最短路径，并立即返回结果。