可能的二分法

难度: Medium

给定一组 n 人（编号为 1, 2, ..., n），我们想把每个人分进任意大小的两组。每个人都可能不喜欢其他人，那么他们不应该属于同一组。

给定整数 n 和数组 dislikes ，其中 dislikes[i] = [a_i, b_i] ，表示不允许将编号为 a_i 和 b_i的人归入同一组。当可以用这种方法将所有人分进两组时，返回 true；否则返回 false。

示例 1：

输入：n = 4, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,4]]
输出：true
解释：group1 [1,4], group2 [2,3]

示例 2：

输入：n = 3, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,3]]
输出：false

示例 3：

输入：n = 5, dislikes = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[1,5]]
输出：false

提示：

1 <= n <= 2000
0 <= dislikes.length <= 10⁴
dislikes[i].length == 2
1 <= dislikes[i][j] <= n
a_i < b_i
dislikes 中每一组都不同

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class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, dislikes: List[List[int]]) -> bool:
        graph = [[] for _ in range(n+1)]
        for i, j in dislikes:
            graph[i].append(j)
            graph[j].append(i)

        left = [False]*(n+1)
        right = [False]*(n+1)
        visited = [False]*(n+1)

        def dfs(v, is_left):
            if visited[v]:
                return (is_left and left[v]) or (not is_left and right[v])
            if is_left:
                left[v]=True
            else:
                right[v]=True
            visited[v]=True
            for i in graph[v]:
                if not dfs(i, not is_left):
                    return False
            return True
        
        for i in range(1, n+1):
            if not visited[i] and not dfs(i, True):
                return False
        return True

Explain

该题解采用了图的深度优先搜索（DFS）算法来解决问题。首先，将给定的不喜欢关系转化为一个图的邻接表表示，其中每个节点代表一个人，每条边代表两个人之间的不喜欢关系。然后，尝试将图分为两个不相交的子集（即两个组），使得每个组内的人都不互相不喜欢。为此，我们使用DFS遍历图，同时用两个数组 'left' 和 'right' 分别记录每个人是否属于左组或右组。在遍历过程中，如果遇到一个已经访问过的节点，我们检查它是否已经被分配到了正确的组中；如果遇到一个未访问过的节点，我们将其分配到当前组的对立组中，并继续DFS遍历其邻居。如果在任何时候，我们发现无法将一个节点分配到一个组中而不违反不喜欢关系，我们返回 false。如果整个图都被成功地遍历并分组，我们返回 true。

时间复杂度: O(V + E) 或 O(n + dislikes.length)

空间复杂度: O(V + E) 或 O(n + dislikes.length)

class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, dislikes: List[List[int]]) -> bool:
        graph = [[] for _ in range(n+1)]  # 创建图的邻接表
        for i, j in dislikes:
            graph[i].append(j)  # 添加边
            graph[j].append(i)

        left = [False]*(n+1)  # 记录节点是否属于左组
        right = [False]*(n+1)  # 记录节点是否属于右组
        visited = [False]*(n+1)  # 记录节点是否被访问过

        def dfs(v, is_left):
            if visited[v]:
                return (is_left and left[v]) or (not is_left and right[v])
            if is_left:
                left[v]=True
            else:
                right[v]=True
            visited[v]=True
            for i in graph[v]:
                if not dfs(i, not is_left):
                    return False
            return True
        
        for i in range(1, n+1):
            if not visited[i] and not dfs(i, True):
                return False
        return True

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在DFS过程中，节点的分组基于其父节点的分组情况来决定。具体的规则是：如果当前节点（我们尝试分配的节点）是从另一个已分组的节点访问到的，那么它应当被分配到与父节点相反的组中。这是因为题目要求每个组内的成员不互相不喜欢，所以如果父节点在左组，当前节点就应该分到右组，反之亦然。这种分组策略是为了确保所有不喜欢的关系都横跨两个组，而不是在同一个组内。

在此上下文中，‘正确的组’指的是一个节点根据其与其他节点的不喜欢关系应该所在的组。具体来说，如果我们通过DFS访问到一个已经标记为访问过的节点，我们需要检查这个节点之前的分组是否与当前尝试分配的组相反。例如，如果我们当前在左组中的节点遍历到一个右组的节点，这是符合预期的；但如果发现这个节点已经在左组，那么就存在矛盾，因为它同时与左组中的一个节点有不喜欢关系，这违反了分组条件。

这种情况的检测通过DFS递归过程实现。在DFS中，每当我们尝试将一个节点分配到一个组时，我们会递归地尝试将与之有不喜欢关系的节点分配到相反的组。如果在此过程中，我们尝试将一个节点分配到一个组，而这个节点已经在相反的组中（由之前的DFS过程确定），则意味着无法满足分组要求（即存在同一组内的节点互相不喜欢）。这时，DFS将返回false，传递到上层递归调用中，最终结果为无法进行有效分组。