按要求补齐数组

标签: 贪心 数组

难度: Hard

给定一个已排序的正整数数组 nums ，和一个正整数 n 。从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中，使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。

请返回 满足上述要求的最少需要补充的数字个数 。

示例 1:

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中， 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

示例 2:

输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2,4]。

示例 3:

输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

提示：

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • 1 <= nums[i] <= 104
  • nums 按 升序排列
  • 1 <= n <= 231 - 1

Submission

运行时间: 27 ms

内存: 16.2 MB

class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        i,s=0,1
        ans=0
        while s<=n:
            if i<len(nums) and nums[i]<=s:                
                s+=nums[i]
                i+=1
            else:
                s*=2
                ans+=1
        return ans

Explain

这个题解使用贪心算法的思路。维护一个变量s，表示当前数组能覆盖的连续区间的右端点。初始时s=1，表示可以覆盖[1,1]。遍历数组，对于每个数字，如果它不大于s，就把它加到s上，表示区间的右端点可以向右扩展到s+nums[i]。如果当前数字大于s，说明s到nums[i]之间有些数字不能被覆盖，需要添加一个数使得覆盖的区间扩大一倍，即s=s*2，同时把添加的数的个数ans加1。最终返回需要添加的数字个数ans。

时间复杂度: O(log(n) + len(nums))

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        i,s=0,1  # i是当前遍历到的nums下标，s是当前覆盖区间的右端点
        ans=0  # 需要添加的数的个数
        while s<=n:
            if i<len(nums) and nums[i]<=s:  
                # 如果当前数字不大于s，扩展右端点到s+nums[i]
                s+=nums[i]
                i+=1
            else:
                # 否则，添加一个数使覆盖区间扩大一倍  
                s*=2
                ans+=1
        return ans

Explore

贪心算法适用于这个问题因为它可以在每一步都做出一个局部最优选择，以求解全局最优解。在此问题中，每次选择最小的可能值来扩展当前的覆盖区间，是基于当前状态下最优的选择，以最少的添加次数来覆盖整个目标区间。通过每次选择将覆盖区间尽可能地扩大，能够有效地减少所需添加的数字数量，这符合贪心算法的特征。

选择将`s`乘以2而不是添加一个正好填补到`nums[i]`的数字，是因为这样可以更大地扩展覆盖范围，而不是仅仅填补到当前最大的`nums[i]`。这种策略不仅覆盖了当前缺失的区间，还可能覆盖更多未来可能的缺失值，从而减少总体所需添加的数字数量。实际上，这种方法优化了添加数字的效率，使得每次添加都能达到最大的覆盖效果。

虽然增加`s`至少两倍是一种有效的策略，但它并不一定总是最优的。存在特定情况下，通过添加比`s`小的数字而不是直接翻倍，可能会减少总添加次数。然而，这种情况取决于`n`的大小和`nums`中已有数字的分布。在许多情况下，直接翻倍是一个简单且有效的方法，尤其是在缺少足够信息预测未来数字的情况下。

当`nums`为空或者`nums`的第一个元素大于1时，算法初始设置的`s=1`无法被数组中的任何元素覆盖。因此，算法会进入循环，在这种情况下，由于不存在小于或等于`s`的`nums[i]`，算法会选择将`s`翻倍，并增加`ans`的计数。这个过程会一直重复，直到`s`可以覆盖到1，然后继续扩展直到覆盖到`n`。这种方式确保了即使在输入数组为空或不包含足够小的元素来开始覆盖的情况下，仍能构建出一个完整的覆盖到`n`的区间。