最优除法

难度: Medium

给定一正整数数组 nums，nums 中的相邻整数将进行浮点除法。例如， [2,3,4] -> 2 / 3 / 4 。

例如，nums = [2,3,4]，我们将求表达式的值 "2/3/4"。

但是，你可以在任意位置添加任意数目的括号，来改变算数的优先级。你需要找出怎么添加括号，以便计算后的表达式的值为最大值。

以字符串格式返回具有最大值的对应表达式。

注意：你的表达式不应该包含多余的括号。

示例 1：

输入: [1000,100,10,2]
输出: "1000/(100/10/2)"
解释: 1000/(100/10/2) = 1000/((100/10)/2) = 200
但是，以下加粗的括号 "1000/((100/10)/2)" 是冗余的，
因为他们并不影响操作的优先级，所以你需要返回 "1000/(100/10/2)"。

其他用例:
1000/(100/10)/2 = 50
1000/(100/(10/2)) = 50
1000/100/10/2 = 0.5
1000/100/(10/2) = 2

示例 2:

输入: nums = [2,3,4]
输出: "2/(3/4)"
解释: (2/(3/4)) = 8/3 = 2.667
可以看出，在尝试了所有的可能性之后，我们无法得到一个结果大于 2.667 的表达式。

说明:

1 <= nums.length <= 10
2 <= nums[i] <= 1000
对于给定的输入只有一种最优除法。

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class Solution:
    def optimalDivision(self, nums: List[int]) -> str:
        if len(nums) == 1:
            return str(nums[0])
        if len(nums) == 2:
            return str(nums[0]) + "/" + str(nums[1])
        
        # 将第一个数作为分子，后面的数依次作为分母，并用括号将它们括起来
        res = str(nums[0]) + "/(" + str(nums[1])
        for i in range(2, len(nums)):
            res += "/" + str(nums[i])
        res += ")"
        return res

Explain

这个题解的思路是：如果要让除法表达式的结果最大，那么就要让第一个数作为分子，其余数依次作为分母，并且用括号将分母括起来。具体来说： 1. 如果数组长度为1，直接返回该数字的字符串形式 2. 如果数组长度为2，返回两个数字用斜杠拼接的字符串形式 3. 如果数组长度大于2，则将第一个数作为分子，其余数依次作为分母，并且用一对括号将所有分母括起来

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(n)

class Solution:
    def optimalDivision(self, nums: List[int]) -> str:
        if len(nums) == 1:
            # 数组长度为1，直接返回该数字的字符串形式
            return str(nums[0])
        if len(nums) == 2:
            # 数组长度为2，返回两数用斜杠拼接的字符串
            return str(nums[0]) + "/" + str(nums[1])
        
        # 将第一个数作为分子，后面的数依次作为分母，并用括号将分母括起来
        res = str(nums[0]) + "/" + "(" + str(nums[1]) 
        for i in range(2, len(nums)):
            res += "/" + str(nums[i])
        res += ")"
        return res

Explore

在数学中，要使一个分数尽可能大，分子应尽可能大而分母应尽可能小。通过将第一个元素作为分子，其余元素作为分母（并且将分母数用括号括起来形成一个整体），可以使得除法的结果最大化。这是因为括号内的除法先执行，形成一个更小的分母值，从而使整个表达式的结果更大。

对于两个数字的除法，加不加括号结果是相同的。例如，'a/b'和'(a/b)'代表相同的数学意义和计算顺序。因此，在只有两个数的情况下，添加括号是不必要的，也不会影响结果。

是的，这种方法在所有情况下都是最优的。由于除法的运算性质，将所有除第一个数字之外的数字组合并一起进行除法运算，可以最小化分母的值，从而最大化整个表达式的结果。这种策略保证了在所有可能的括号组合中得到最大的结果。

对于数组 `[1000, 1, 100]`，算法的输出是 `1000/(1/100)`，即 `1000/0.01`，这等于 `100000`。在这种情况下，输出的表达式仍是最优的。即使包含1作为除数，将1与其它数一起放在括号内仍然是最优的，因为这样可以最大化结果，无论1的位置在哪里。