恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

难度: Hard

有 n 根长度互不相同的木棍，长度为从 1 到 n 的整数。请你将这些木棍排成一排，并满足从左侧 可以看到 恰好 k 根木棍。从左侧 可以看到 木棍的前提是这个木棍的左侧不存在比它 更长的 木棍。

例如，如果木棍排列为 [1,3,2,5,4] ，那么从左侧可以看到的就是长度分别为 1、3 、5 的木棍。

给你 n 和 k ，返回符合题目要求的排列数目。由于答案可能很大，请返回对 10⁹ + 7 取余的结果。

示例 1：

输入：n = 3, k = 2
输出：3
解释：[1,3,2], [2,3,1] 和 [2,1,3] 是仅有的能满足恰好 2 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。

示例 2：

输入：n = 5, k = 5
输出：1
解释：[1,2,3,4,5] 是唯一一种能满足全部 5 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。

示例 3：

输入：n = 20, k = 11
输出：647427950
解释：总共有 647427950 (mod 10⁹+ 7) 种能满足恰好有 11 根木棍可以看到的排列。

提示：

1 <= n <= 1000
1 <= k <= n

Submission

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INT = 10 ** 9 + 7
@cache
def factorial(k):
    if k == 1: return 1
    return k * factorial(k-1) % INT
@cache
def getRes(n, k):
    if n == k: return 1
    if k == 1: return factorial(n-1)
    return (getRes(n-1, k) * (n-1) + getRes(n-1, k-1)) % INT
class Solution:
    def rearrangeSticks(self, n: int, k: int) -> int:
        return getRes(n, k)

Explain

此题解采用了递归+记忆化的方法来解决问题。首先，定义一个递归函数 `getRes(n, k)` 来计算有n根木棍时，恰好有k根木棍可见的排列数。对于基本情况，如果要求的可见木棍数k等于总棍数n，则只有一种排列满足要求。如果k为1，则任何排列中最长的木棍都必须放在最前面，此后的n-1根木棍可以任意排列，因此是(n-1)!种排列。对于一般情况，将问题分为两部分：1) 第n根木棍不增加可见木棍数的情况，此时它必须被前面的某根木棍遮挡，因此这种情况下的排列数为 `getRes(n-1, k) * (n-1)`；2) 第n根木棍增加可见木棍数的情况，即它是可见的，这种情况下的排列数为 `getRes(n-1, k-1)`。最终结果是这两种情况之和，模10^9+7。

时间复杂度: O(n * k)

空间复杂度: O(n * k)

python
from functools import lru_cache

INT = 10**9 + 7

@lru_cache(None)
def factorial(k):
    if k == 1: return 1  # 只有1的阶乘是1
    return k * factorial(k-1) % INT  # 递归计算k的阶乘，并取模

@lru_cache(None)
def getRes(n, k):
    if n == k: return 1  # 全部木棍都可见，只有一种排列
    if k == 1: return factorial(n-1)  # 只有一根木棍可见，计算(n-1)!
    # 两种情况：n不是可见的，n是新增加的可见木棍
    return (getRes(n-1, k) * (n-1) + getRes(n-1, k-1)) % INT

class Solution:
    def rearrangeSticks(self, n: int, k: int) -> int:
        return getRes(n, k)  # 获取结果

Explore

当`n < k`时，不可能有超过n根木棍可见，因为可见的木棍数不可能超过木棍的总数。因此，在这种情况下，应返回0，表示不存在这样的排列。这是一个边界情况，应在函数`getRes`中明确处理以避免错误的递归调用。

在`getRes(n-1, k) * (n-1)`这种情况下，考虑第n根木棍不是新的可见木棍（即它被之前的某一根木棍遮挡）。`getRes(n-1, k)`计算了n-1根木棍中有k根可见的排列数。乘以`(n-1)`的原因是，第n根木棍可以插入到前n-1根木棍的任何一个位置（除了最前面），而不改变原有的可见木棍数量，共有n-1种选择。

`lru_cache`是Python标准库`functools`中的一个装饰器，用于实现记忆化功能。它缓存装饰函数的调用结果，当函数用相同的参数再次被调用时，直接从缓存中返回结果，而不需要重新执行函数。这极大地提高了递归函数的性能，特别是在处理有大量重复子问题的递归调用时，如本题中的`getRes`和`factorial`。通过避免重复计算，减少了时间复杂度，使得算法能够在可接受的时间内解决问题。

在数学中，0的阶乘定义为1 (`0! = 1`)。题解中的`factorial`函数没有显式处理k为0的情况，这可能导致在特定情况下调用`factorial(0)`时出现错误。为了完善函数并避免潜在问题，应该在函数开始添加一个条件，检查k是否为0，如果是，则返回1。这样可以确保函数在所有情况下都正确运行。