移动机器人

标签: 脑筋急转弯 数组 前缀和 排序

难度: Medium

有一些机器人分布在一条无限长的数轴上，他们初始坐标用一个下标从 0 开始的整数数组 nums 表示。当你给机器人下达命令时，它们以每秒钟一单位的速度开始移动。

给你一个字符串 s ，每个字符按顺序分别表示每个机器人移动的方向。'L' 表示机器人往左或者数轴的负方向移动，'R' 表示机器人往右或者数轴的正方向移动。

当两个机器人相撞时，它们开始沿着原本相反的方向移动。

请你返回指令重复执行 d 秒后，所有机器人之间两两距离之和。由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。

注意：

  • 对于坐标在 i 和 j 的两个机器人，(i,j) 和 (j,i) 视为相同的坐标对。也就是说，机器人视为无差别的。
  • 当机器人相撞时，它们 立即改变 它们的前进方向，这个过程不消耗任何时间。

  • 当两个机器人在同一时刻占据相同的位置时，就会相撞。

    • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 2 并往左移动，下一秒，它们都将占据位置 1，并改变方向。再下一秒钟后，第一个机器人位于位置 0 并往左移动，而另一个机器人位于位置 2 并往右移动。

    • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 1 并往左移动，下一秒，第一个机器人位于位置 0 并往左行驶，而另一个机器人位于位置 1 并往右移动。

示例 1：

输入：nums = [-2,0,2], s = "RLL", d = 3
输出：8
解释：
1 秒后，机器人的位置为 [-1,-1,1] 。现在下标为 0 的机器人开始往左移动，下标为 1 的机器人开始往右移动。
2 秒后，机器人的位置为 [-2,0,0] 。现在下标为 1 的机器人开始往左移动，下标为 2 的机器人开始往右移动。
3 秒后，机器人的位置为 [-3,-1,1] 。
下标为 0 和 1 的机器人之间距离为 abs(-3 - (-1)) = 2 。
下标为 0 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-3 - 1) = 4 。
下标为 1 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-1 - 1) = 2 。
所有机器人对之间的总距离为 2 + 4 + 2 = 8 。

示例 2：

输入：nums = [1,0], s = "RL", d = 2
输出：5
解释：
1 秒后，机器人的位置为 [2,-1] 。
2 秒后，机器人的位置为 [3,-2] 。
两个机器人的距离为 abs(-2 - 3) = 5 。

提示：

  • 2 <= nums.length <= 105
  • -2 * 109 <= nums[i] <= 2 * 109
  • 0 <= d <= 109
  • nums.length == s.length 
  • s 只包含 'L' 和 'R' 。
  • nums[i] 互不相同。

Submission

运行时间: 96 ms

内存: 27.8 MB

class Solution:
    def sumDistance(self, nums: List[int], s: str, d: int) -> int:
        # 
        for i, c in enumerate(s):
            nums[i] += d if c == 'R' else -d 

        res = 0
        nums.sort()
        n = len(nums)
        return sum([(nums[i] - nums[i - 1]) * i * (n - i) for i in range(1, n)]) % (10**9 + 7)

Explain

此题解的思路是首先根据移动指令更新每个机器人在d秒后的位置。然后将更新后的位置排序，以便计算任意两个机器人之间的距离。最后，利用数学方法计算所有机器人对之间的距离之和。对于排序后的数组中的每个元素nums[i]，它与前面的i个元素的距离总和为(nums[i] - nums[i - 1]) * i，与后面的(n - i)个元素的距离总和相同。因此，对于每个i，距离之和为(nums[i] - nums[i - 1]) * i * (n - i)。将所有这些距离相加并取模得到最终结果。

时间复杂度: O(nlogn)

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def sumDistance(self, nums: List[int], s: str, d: int) -> int:
        # 更新每个机器人在d秒后的位置
        for i, c in enumerate(s):
            nums[i] += d if c == 'R' else -d

        # 对更新后的位置进行排序
        nums.sort()

        # 计算所有机器人对之间的距离之和
        n = len(nums)
        return sum([(nums[i] - nums[i - 1]) * i * (n - i) for i in range(1, n)]) % (10**9 + 7)

Explore

在此题解中，机器人的碰撞和方向改变并没有被直接处理。题解假设每个机器人按照其初始指定的方向移动完整的距离d，不考虑中途的相遇和方向变化。这个算法的核心在于计算最终位置后的机器人之间的距离，而非模拟实际的移动过程。

在题解中，对机器人位置进行排序仅是为了便于计算所有机器人之间的距离，而不是模拟机器人的实际移动。题解假设机器人按照初始方向移动指定的距离，并在移动结束后统一计算位置。这意味着排序并未考虑机器人在移动过程中的相遇或方向改变，这些因素在计算最终距离时不影响结果。

公式 `(nums[i] - nums[i - 1]) * i * (n - i)` 的含义反映了机器人i与其前面所有机器人（即i个）和后面所有机器人（即n-i个）之间的距离贡献。这里 `(nums[i] - nums[i - 1])` 表示机器人i和它前一个机器人之间的距离，此距离对于机器人i前面的每一个机器人都是相同的。因此，这段距离被i次计入总和。同样的逻辑适用于机器人i与其后面的每一个机器人。乘以 `(n - i)` 表示这段距离对于机器人i后面的每一个机器人也是一样的。这样的计算确保了所有机器人之间的距离被正确且完整地统计。