得到整数零需要执行的最少操作数

标签: 位运算 脑筋急转弯

难度: Medium

给你两个整数：num1 和 num2 。

在一步操作中，你需要从范围 [0, 60] 中选出一个整数 i ，并从 num1 减去 2i + num2 。

请你计算，要想使 num1 等于 0 需要执行的最少操作数，并以整数形式返回。

如果无法使 num1 等于 0 ，返回 -1 。

示例 1：

输入：num1 = 3, num2 = -2
输出：3
解释：可以执行下述步骤使 3 等于 0 ：
- 选择 i = 2 ，并从 3 减去 22 + (-2) ，num1 = 3 - (4 + (-2)) = 1 。
- 选择 i = 2 ，并从 1 减去 22 + (-2) ，num1 = 1 - (4 + (-2)) = -1 。
- 选择 i = 0 ，并从 -1 减去 20 + (-2) ，num1 = (-1) - (1 + (-2)) = 0 。
可以证明 3 是需要执行的最少操作数。

示例 2：

输入：num1 = 5, num2 = 7
输出：-1
解释：可以证明，执行操作无法使 5 等于 0 。

提示：

  • 1 <= num1 <= 109
  • -109 <= num2 <= 109

Submission

运行时间: 23 ms

内存: 15.9 MB

class Solution:
    def makeTheIntegerZero(self, num1: int, num2: int) -> int:
        def bits(x: int) -> int:
            n = 0
            while x > 0:
                x = x & (x - 1)
                n += 1
            return n

        n = 0
        while n < num1.bit_count():
            #print(n, num1, bin(num1))
            num1 -= num2
            if num1 <= n:
                return -1
            n += 1
        #print(n, num1, bin(num1))
        return n

#1, num1-(2^x1+num2)
#2, num1-(2^x1+num2) - (2^x2+num2) = num1-2*num2-2^x1-2^x2
#3, num1-(2^x1+num2) - (2^x2+num2) - (2^x3+num2) = num1-3*num2-2^x1-2^x2-2^x3

Explain

该题解的主要思路是通过不断地从num1中减去num2并检查num1的位数，尝试将num1减至0。函数中首先定义了一个辅助函数bits(x)，用于计算整数x的二进制表示中1的个数。在主函数makeTheIntegerZero中，采用了一个循环，每次循环将num1减去num2并逐渐增加操作次数n。循环的终止条件是num1的二进制表示中1的个数小于或等于n。如果在过程中num1小于或等于n，则返回-1表示无法通过规定的操作将num1减至0。否则，返回操作次数n。

时间复杂度: O(log num1)

空间复杂度: O(1)

# Class to perform the operations to make integer zero
class Solution:
    def makeTheIntegerZero(self, num1: int, num2: int) -> int:
        # Function to count the number of 1s in the binary representation of x
        def bits(x: int) -> int:
            n = 0
            while x > 0:
                x = x & (x - 1)  # Brian Kernighan's Algorithm to count bits
                n += 1
            return n

        n = 0  # Initialize count of operations
        while n < num1.bit_count():  # while number of operations is less than the bit count of num1
            #print(n, num1, bin(num1))
            num1 -= num2  # perform the operation by subtracting num2 from num1
            if num1 <= n:  # if num1 is less than or equal to number of operations
                return -1  # return -1 indicating it's not possible to reduce num1 to zero
            n += 1  # increment the operation count
        #print(n, num1, bin(num1))
        return n  # return the count of operations

Explore

这是一个错误或遗漏。题目描述中明确要求从`num1`减去`2^i + num2`，其中`i`可以从0到60选择。而题解中仅仅将`num2`从`num1`中减去，没有考虑`2^i`的部分。这可能是题解作者误解题目要求或者是编写时的疏忽。正确的实现应该是在每个操作中考虑所有`i`的可能值，并选择一个使得`num1`最接近0或者直接变为0的`i`值，而不是简单地重复减去`num2`。

`num1.bit_count()`函数返回`num1`的二进制表示中1的个数。在题解中，作者使用这个值作为循环的结束条件，可能是基于这样的考虑：如果操作次数超过了`num1`的二进制中1的个数，那么理论上应该已经有足够的操作来将每个1位减到0。然而，这个逻辑存在问题，因为它未考虑到每次操作的实际效果和`2^i + num2`的具体值，这可能导致无法准确控制`num1`的减少至0。更合适的方式是，确保每次操作都有效地接近目标0，而不仅仅是简单地依赖1的个数。

题解中的方法可能会在以下情况下失败：1. 如果`num2`的值非常大或者与`2^i`的组合无法有效减小`num1`，仅仅依赖1的个数作为操作次数可能不足以将`num1`减至0。2. 如果`num2`是负数，那么每次操作可能实际上会增加`num1`的值，使得减少到0变得不可能。3. 特定的`i`选择可能导致无法有效利用二进制中的1位，尤其是在高位1较多的情况下。因此，一个更全面的方法应该考虑所有可能的`i`值，并检查它们对达成目标的具体影响。