规划兼职工作

难度: Hard

你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱。

这里有 n 份兼职工作，每份工作预计从 startTime[i] 开始到 endTime[i] 结束，报酬为 profit[i]。

给你一份兼职工作表，包含开始时间 startTime，结束时间 endTime 和预计报酬 profit 三个数组，请你计算并返回可以获得的最大报酬。

注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行。

如果你选择的工作在时间 X 结束，那么你可以立刻进行在时间 X 开始的下一份工作。

示例 1：

输入：startTime = [1,2,3,3], endTime = [3,4,5,6], profit = [50,10,40,70]
输出：120
解释：
我们选出第 1 份和第 4 份工作， 
时间范围是 [1-3]+[3-6]，共获得报酬 120 = 50 + 70。

示例 2：

输入：startTime = [1,2,3,4,6], endTime = [3,5,10,6,9], profit = [20,20,100,70,60]
输出：150
解释：
我们选择第 1，4，5 份工作。 
共获得报酬 150 = 20 + 70 + 60。

示例 3：

输入：startTime = [1,1,1], endTime = [2,3,4], profit = [5,6,4]
输出：6

提示：

1 <= startTime.length == endTime.length == profit.length <= 5 * 10^4
1 <= startTime[i] < endTime[i] <= 10^9
1 <= profit[i] <= 10^4

Submission

运行时间: 96 ms

内存: 28.5 MB

class Solution:
    def jobScheduling(self, startTime: List[int], endTime: List[int], profit: List[int]) -> int:
        n=len(startTime)
        lst = list(range(n))
        lst.sort(key=lambda x: endTime[x])
        pre = [0]
        dp = [0]
        for i in lst:
            j = bisect.bisect_right(pre, startTime[i]) - 1
            cur = dp[j] + profit[i] if dp[j] + profit[i] > dp[-1] else dp[-1]
            dp.append(cur)
            pre.append(endTime[i])
        return dp[-1]

Explain

该题解采用动态规划加二分搜索的方法求解。首先，将工作按照结束时间排序，以便计算可行解。定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示截至第 i 个工作所能获得的最大利润。通过二分搜索来找到一个最大的 j，使得工作 j 的结束时间小于等于当前工作 i 的开始时间，从而确定在接受当前工作之前能获得的最大利润。对于每个工作 i，我们计算不接受这个工作时的利润 dp[-1]（即上一状态的最大值）与接受这个工作后的总利润 dp[j] + profit[i] 的较大者，更新 dp 数组。最终，dp 数组的最后一个元素将给出接受所有工作的情况下的最大利润。

时间复杂度: O(n log n)

空间复杂度: O(n)

class Solution:
    def jobScheduling(self, startTime: List[int], endTime: List[int], profit: List[int]) -> int:
        n = len(startTime)
        # 创建工作索引列表并根据各工作的结束时间进行排序
        lst = list(range(n))
        lst.sort(key=lambda x: endTime[x])
        # 初始化前置作业结束时间列表和动态规划利润表
        pre = [0]
        dp = [0]
        # 遍历每个工作
        for i in lst:
            # 通过二分查找找到不与当前工作重叠的最近工作
            j = bisect.bisect_right(pre, startTime[i]) - 1
            # 计算当前工作接受与否的最大利润
            cur = dp[j] + profit[i] if dp[j] + profit[i] > dp[-1] else dp[-1]
            # 更新动态规划表和前置作业结束时间
            dp.append(cur)
            pre.append(endTime[i])
        # 返回最大可能利润
        return dp[-1]

Explore

动态规划加二分搜索的方法适用于这个问题因为它可以有效处理工作之间的重叠和依赖关系，确保计算最大利润。贪心算法虽然在某些情况下能快速得到解，但可能无法得到全局最优解，因为选择当前最优可能导致丧失更好的长远利益。穷举法则因为其指数级的时间复杂度对于较大数据集来说不可行。动态规划通过分解问题，利用子问题的解构建整个问题的解，对于这种类型的优化问题是更有效的方法。二分搜索的加入则是为了快速查找不与当前工作冲突的最近工作，提高搜索效率，避免重复计算。

在动态规划的实现中，dp[i]代表考虑到第i个工作为止（在排序后的列表中），可以获得的最大利润。状态转移是通过比较不接受当前第i个工作时的最大利润（即dp[i-1]）和接受这个工作时的总利润（即dp[j]+profit[i]，其中j是不与当前工作i重叠的最近工作）来实现的。如果接受当前工作带来的总利润更高，则更新dp[i]为这个值；否则，dp[i]继承dp[i-1]的值。

二分搜索在这个问题中用于快速找到不与当前工作重叠的最近的工作j。这是因为所有工作已按结束时间排序，endTime数组是有序的，这允许使用二分搜索来高效地定位满足endTime[j]小于等于startTime[i]的最大j。这样可以直接利用前j个工作已计算出的最大利润dp[j]，避免了对每个工作进行线性搜索，大大提升了效率。

在进行二分搜索时选择bisect_right是为了找到小于等于当前工作开始时间的最大结束时间的位置，确保当前工作不与之前的工作重叠。bisect_right返回的是插入点位于相等元素的右侧，这保证了找到的是不超过开始时间的最大结束时间。若使用bisect_left，则会返回相等元素的最左位置，这在某些情况下可能导致返回的结束时间大于当前工作的开始时间，从而选错了不重叠的最近工作。因此，使用bisect_right更符合查找需求。