减小和重新排列数组后的最大元素

难度: Medium

给你一个正整数数组 arr 。请你对 arr 执行一些操作（也可以不进行任何操作），使得数组满足以下条件：

arr 中 第一个 元素必须为 1 。
任意相邻两个元素的差的绝对值 小于等于 1 ，也就是说，对于任意的 1 <= i < arr.length （数组下标从 0 开始），都满足 abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 。abs(x) 为 x 的绝对值。

你可以执行以下 2 种操作任意次：

减小 arr 中任意元素的值，使其变为一个 更小的正整数 。
重新排列 arr 中的元素，你可以以任意顺序重新排列。

请你返回执行以上操作后，在满足前文所述的条件下，arr 中可能的 最大值 。

示例 1：

输入：arr = [2,2,1,2,1]
输出：2
解释：
我们可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] ，该数组满足所有条件。
arr 中最大元素为 2 。

示例 2：

输入：arr = [100,1,1000]
输出：3
解释：
一个可行的方案如下：
1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 。
2. 将第二个元素减小为 2 。
3. 将第三个元素减小为 3 。
现在 arr = [1,2,3] ，满足所有条件。
arr 中最大元素为 3 。

示例 3：

输入：arr = [1,2,3,4,5]
输出：5
解释：数组已经满足所有条件，最大元素为 5 。

提示：

1 <= arr.length <= 10⁵
1 <= arr[i] <= 10⁹

Submission

运行时间: 40 ms

内存: 25.4 MB

class Solution:
    def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int:
        from collections import Counter

        sort_list = sorted(arr)
        max = 0
        for i in sort_list:
            if i - max > 0:
                max += 1
            
        return max

Explain

本题解的思路通过首先对数组进行排序，确保元素以非降序排列。随后，遍历排序后的数组，使用一个变量 `max` 来跟踪可以达到的最大值。在每个元素的迭代中，检查当前元素是否能使 `max` 增加（即 `i - max > 0`）。如果可行，`max` 则递增。最终，`max` 的值即为满足条件后数组可能的最大值。

时间复杂度: O(n log n)

空间复杂度: O(n)

# Solution class defined
class Solution:
    def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int:
        # Import necessary libraries
        from collections import Counter

        # Sort the array to meet the condition of non-decreasing order
        sort_list = sorted(arr)
        # Initialize max as 0, to track the achievable maximum value
        max = 0
        # Iterate through the sorted list
        for i in sort_list:
            # Check if the current element can increase max
            if i - max > 0:
                max += 1
                
        # Return the maximum value that can be achieved
        return max

Explore

算法通过维护一个名为`max`的变量，这个变量表示在当前元素处理后，数组可以达到的最大可能的连续元素值。在每次迭代中，如果当前元素`i`大于`max`，则`max`可以安全地递增1。这种递增确保了在重新排列后的数组中，任意相邻两个元素的差的绝对值不会超过1，因为我们通过`max`依次增加来模拟数组元素的递增。

将`max`初始化为0是因为我们需要从最小可能值开始计数，这样可以确保我们重新排列的数组是从1开始（如果可能）。如果第一个元素大于1，而`max`被初始化为这个值，我们可能错过从1开始的序列，这可能导致不能达到最优的数组排列。用0开始可以确保我们捕捉到从1递增的每个可能机会。

在存在大间距的情况下，例如数组中元素从1跳到100，算法依然能够正确处理。因为`max`仅在当前元素大于`max`的情况下增加。在从1跳到100的数组中，当处理到100时，由于100远大于当前`max`（可能是2或更小的数），`max`仅递增1，成为2。这确保了即使在大间距存在的情况下，我们也只逐步增加`max`，从而保持了数组元素的连续性。

条件`i - max > 0`是为了检查当前元素是否大于已经达到的最大可能值`max`。这个条件确保只有当当前元素可以用来递增`max`时，我们才进行递增。这样做是为了避免在数组中跳过任何可能的值，确保我们能够按照题目要求尽可能地增加数组的最大元素值，同时保持元素间的连续性。