两个子序列的最大点积

标签: 数组 动态规划

难度: Hard

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

提示：

  • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
  • -1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

点积：

定义 a = [a1, a2,…, an] 和 b = [b1, b2,…, bn] 的点积为：

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 

这里的 Σ 指示总和符号。

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class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        max1, max2 = max(nums1), max(nums2)
        min1, min2 = min(nums1), min(nums2)
        if (max1 < 0 and min2 > 0) or (max2 < 0 and min1 > 0):
            return max(max1*min2, min1*max2)
        l1 = len(nums1)
        l2 = len(nums2)
        f = [0] * (l2+1)
        for i, x1 in enumerate(nums1):
            pre = f[0]
            f[0] = 0
            for j, x2 in enumerate(nums2):
                tmp = f[j+1]
                f[j+1] = max(f[j+1], f[j], pre+x1*x2)
                pre = tmp
        return f[l2]

Explain

题解使用动态规划的方法来求解两个数组的子序列的最大点积。定义 dp[i][j] 表示 nums1 中前 i 个元素和 nums2 中前 j 个元素的最大点积。为了优化空间复杂度，使用一维数组 f[j] 来表示当前行的状态，pre 用来存储上一行的状态。遍历 nums1 和 nums2 的每个元素，计算当前元素对最大点积的贡献，并更新状态。如果数组中全部元素为负数，还考虑了直接取最小值乘以最大值的情况。

时间复杂度: O(m*n)

空间复杂度: O(n)

class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 找到 nums1 和 nums2 中的最大值和最小值
        max1, max2 = max(nums1), max(nums2)
        min1, min2 = min(nums1), min(nums2)
        # 如果最大值和最小值的符号不同，则可能最大点积来自于单个元素
        if (max1 < 0 and min2 > 0) or (max2 < 0 and min1 > 0):
            return max(max1*min2, min1*max2)
        l1 = len(nums1)
        l2 = len(nums2)
        f = [0] * (l2+1)
        # 动态规划遍历 nums1 和 nums2
        for i, x1 in enumerate(nums1):
            pre = f[0]
            f[0] = 0
            for j, x2 in enumerate(nums2):
                tmp = f[j+1]
                # 更新 f[j+1] 为包含当前元素的最大点积
                f[j+1] = max(f[j+1], f[j], pre+x1*x2)
                pre = tmp
        return f[l2]

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这种方法在数组中的元素符号相反时有效，例如一个数组全为负数，另一个全为正数。这是因为负数和正数相乘会得到最大的负数，而我们需要的是最大的点积（正数）。在这种情况下，选择一个数组的最大负数和另一个数组的最大正数相乘可以得到最大的点积。然而，如果两个数组的符号相同（都是正数或都是负数），这种方法就不适用，因为最小值与最大值相乘不会产生最大点积。此时，应当使用动态规划方法寻找最大点积。

在动态规划中，此更新策略的逻辑是考虑所有可能的子序列组合来确保计算的点积是最大的。`f[j+1]` 保留了不包括当前元素`x1`和`x2`的前一个状态的最大点积。`f[j]` 是不包含当前`nums2[j]`的子序列的最大点积。`pre + x1 * x2`则是包括当前两元素点积及之前计算的最大点积的总和。通过比较这三种情况，我们可以确保在每一步都取得当前可能的最大点积，从而最终得到全局的最大点积。

当 nums1 或 nums2 为空数组时，由于没有元素可用于计算点积，合理的返回值应该是特殊值来表示无法进行点积运算的情况。在许多编程场景中，返回一个特定的错误值或异常会比较合适。例如，可以返回一个特定错误代码或抛出一个异常。如果按照题目的设定，返回点积的最小可能值（例如，整数的最小值）也可以作为一种处理策略。这样，调用者可以通过检查返回值来判断是否发生了边界情况。