树节点的第 K 个祖先

难度: Hard

给你一棵树，树上有 n 个节点，按从 0 到 n-1 编号。树以父节点数组的形式给出，其中 parent[i] 是节点 i 的父节点。树的根节点是编号为 0 的节点。

树节点的第 k 个祖先节点是从该节点到根节点路径上的第 k 个节点。

实现 TreeAncestor 类：

TreeAncestor（int n， int[] parent） 对树和父数组中的节点数初始化对象。
getKthAncestor(int node, int k) 返回节点 node 的第 k 个祖先节点。如果不存在这样的祖先节点，返回 -1 。

示例 1：

输入：
["TreeAncestor","getKthAncestor","getKthAncestor","getKthAncestor"]
[[7,[-1,0,0,1,1,2,2]],[3,1],[5,2],[6,3]]

输出：
[null,1,0,-1]

解释：
TreeAncestor treeAncestor = new TreeAncestor(7, [-1, 0, 0, 1, 1, 2, 2]);

treeAncestor.getKthAncestor(3, 1);  // 返回 1 ，它是 3 的父节点
treeAncestor.getKthAncestor(5, 2);  // 返回 0 ，它是 5 的祖父节点
treeAncestor.getKthAncestor(6, 3);  // 返回 -1 因为不存在满足要求的祖先节点

提示：

1 <= k <= n <= 5 * 10⁴
parent[0] == -1 表示编号为 0 的节点是根节点。
对于所有的 0 < i < n ，0 <= parent[i] < n 总成立
0 <= node < n
至多查询 5 * 10⁴ 次

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class TreeAncestor:

    def __init__(self, n: int, parent: List[int]):
        self.ancestors = [parent]

        while 1:
            prev = self.ancestors[-1]
            p = [-1] * n
            flag = 0
            for u in range(n):
                if prev[u] == -1: continue
                flag = 1
                p[u] = prev[prev[u]]
            if not flag:
                break
            self.ancestors.append(p)

    def getKthAncestor(self, node: int, k: int) -> int:
        while k:
            low = k & -k
            idx = low.bit_length() - 1
            if idx >= len(self.ancestors):
                return -1
            node = self.ancestors[idx][node]
            if node == -1:
                return -1
            k ^= low
        return node

# Your TreeAncestor object will be instantiated and called as such:
# obj = TreeAncestor(n, parent)
# param_1 = obj.getKthAncestor(node,k)

Explain

该题解采用了二进制倍增的思想来快速查找树节点的第k个祖先。在初始化时，我们首先计算每个节点的1代祖先（即直接父节点），然后依次计算每个节点的2的幂次代祖先，即2代、4代、8代等。这样，在查询第k个祖先时，我们可以利用k的二进制表示来快速定位需要跳跃的祖先节点。

时间复杂度: 初始化：O(nlog(n)), 查询：O(log(k))

空间复杂度: O(nlog(n))

class TreeAncestor:

    def __init__(self, n: int, parent: List[int]):
        self.ancestors = [parent]  # 初始化祖先列表，第一层为直接父节点

        while 1:
            prev = self.ancestors[-1]  # 获取上一层祖先
            p = [-1] * n  # 初始化当前层祖先
            flag = 0  # 标记是否有非根节点的祖先
            for u in range(n):
                if prev[u] == -1: continue  # 跳过根节点
                flag = 1
                p[u] = prev[prev[u]]  # 计算当前节点的祖先
            if not flag:
                break  # 如果所有节点都已经到达根节点，停止计算
            self.ancestors.append(p)  # 添加当前层祖先

    def getKthAncestor(self, node: int, k: int) -> int:
        while k:
            low = k & -k  # 获取k的最低位的1
            idx = low.bit_length() - 1  # 计算需要跳跃的层数
            if idx >= len(self.ancestors):
                return -1  # 如果跳跃层数超过已计算的层数，返回-1
            node = self.ancestors[idx][node]  # 跳跃到对应的祖先节点
            if node == -1:
                return -1  # 如果跳跃到根节点之上，返回-1
            k ^= low  # 移除k的最低位的1
        return node  # 返回最终的祖先节点

# Your TreeAncestor object will be instantiated and called as such:
# obj = TreeAncestor(n, parent)
# param_1 = obj.getKthAncestor(node,k)

Explore

在初始化过程中，`flag`标记用于检查是否还有节点可以进一步追溯其祖先。具体来说，如果某个节点`u`的父节点`prev[u]`不是-1（即该节点不是根节点），则尝试计算`prev[u]`的父节点`prev[prev[u]]`。如果所有节点的`prev[u]`都是-1，表示所有节点都已经是根节点，没有更远的祖先可以追溯，此时`flag`会保持为0，触发终止条件停止计算更高层的祖先。

如果在某一层中所有节点都已经是根节点，这意味着这些节点没有更远的祖先可以查询。由于树的结构是自顶向下的，根节点之上没有其他节点，因此继续计算更高层的祖先没有意义，且会导致无效的计算和可能的错误。因此，在发现所有节点都已经是根节点时停止计算，可以节省资源并防止错误。

在代码中，我们通过检查`prev[u]`的值来避免节点编号超出范围的情况。在赋值`p[u] = prev[prev[u]]`之前，首先会检查`prev[u]`是否为-1。如果`prev[u]`是-1，这表明`u`节点是根节点，没有父节点。因此，在这种情况下，我们会直接跳过这个节点的处理，不会尝试访问`prev[prev[u]]`，从而避免了数组越界或不合法访问。

在`getKthAncestor`方法中，使用k的二进制表示来确定需要跳跃的层数。具体方法是取k的最低位1，例如k的二进制表示为`10100`，最低位的1对应的是2^2，表示我们需要跳到2^2（即4代）祖先。我们通过`low = k & -k`获取到最低位的1，然后用`idx = low.bit_length() - 1`计算这个1所在的位置，即跳跃的层数。这样我们可以直接跳到对应的祖先节点，提高查询效率。