所有数对按位与结果的异或和

难度: Hard

列表的 异或和（XOR sum）指对所有元素进行按位 XOR 运算的结果。如果列表中仅有一个元素，那么其 异或和 就等于该元素。

例如，[1,2,3,4] 的 异或和 等于 1 XOR 2 XOR 3 XOR 4 = 4 ，而 [3] 的 异或和 等于 3 。

给你两个下标 从 0 开始 计数的数组 arr1 和 arr2 ，两数组均由非负整数组成。

根据每个 (i, j) 数对，构造一个由 arr1[i] AND arr2[j]（按位 AND 运算）结果组成的列表。其中 0 <= i < arr1.length 且 0 <= j < arr2.length 。

返回上述列表的 异或和 。

示例 1：

输入：arr1 = [1,2,3], arr2 = [6,5]
输出：0
解释：列表 = [1 AND 6, 1 AND 5, 2 AND 6, 2 AND 5, 3 AND 6, 3 AND 5] = [0,1,2,0,2,1] ，
异或和 = 0 XOR 1 XOR 2 XOR 0 XOR 2 XOR 1 = 0 。

示例 2：

输入：arr1 = [12], arr2 = [4]
输出：4
解释：列表 = [12 AND 4] = [4] ，异或和 = 4 。

提示：

1 <= arr1.length, arr2.length <= 10⁵
0 <= arr1[i], arr2[j] <= 10⁹

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class Solution:
    def getXORSum(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        xor1 = 0
        for num in arr1:
            xor1 ^= num
        
        xor2 = 0
        for num in arr2:
            xor2 ^= num
        
        return xor1 & xor2

def getXORSum(arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
    ...

Explain

题解使用了一个数学技巧和位操作的性质来简化计算。本题要求对所有(arr1[i] AND arr2[j])的结果进行XOR运算。直接计算所有组合将非常耗时。题解利用了分配律：(a AND b) XOR (c AND d) = (a XOR c) AND (b XOR d)。因此可以先分别计算arr1和arr2的元素的XOR和，然后将两个结果进行AND操作，得到最终的结果。这种方法大大减少了计算量。

时间复杂度: O(n + m)

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def getXORSum(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        xor1 = 0
        for num in arr1:
            xor1 ^= num  # 计算arr1的所有元素的XOR和
        
        xor2 = 0
        for num in arr2:
            xor2 ^= num  # 计算arr2的所有元素的XOR和
        
        return xor1 & xor2  # 返回arr1和arr2的XOR和的AND结果

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您指出的确实正确，表达式`(a AND b) XOR (c AND d) = (a XOR c) AND (b XOR d)`是错误的。正确的表达式应该不存在这样简洁的形式，因为AND和XOR操作在逻辑上没有这种直接的分配关系。实际上，位运算中没有类似的分配律能够将AND和XOR运算简化成这种形式。

该方法会失效，因为基于错误的分配律得出的结论是不正确的。如果真实情况要求得到所有元素按位AND的结果再进行XOR，这种方法无法适用。例如，两个数组元素的组合特性可能在XOR运算后失去，AND操作无法恢复这种组合特性。简化方法仅适用于理论上基于正确的数学原理时，而这里的分配律是错误的。

实际上，这种操作不能保证得到正确的最终结果。题解中的方法基于错误的分配律，所以不能保证得到所有数对按位与结果的异或和。正确的计算应该涉及对每一对元素进行AND操作，然后对这些结果进行XOR运算，而不是简化为XOR和的AND操作。这种错误的简化可能会导致计算结果与实际的按位与后的异或和不同。

这种假设在逻辑上是不严谨的，因为AND和XOR运算不遵循该假设中提出的分配律。这类错误的逻辑假设可能导致算法的结果错误，特别是在需要精确计算的情况下。错误的假设可能导致开发者或使用者误解算法的适用性和准确性，从而在实际应用中引入计算错误。