判断一个数组是否可以变为有序

难度: Medium

给你一个下标从 0 开始且全是正整数的数组 nums 。

一次操作中，如果两个相邻元素在二进制下数位为 1 的数目相同，那么你可以将这两个元素交换。你可以执行这个操作 任意次 （也可以 0 次）。

如果你可以使数组变有序，请你返回 true ，否则返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [8,4,2,30,15]
输出：true
解释：我们先观察每个元素的二进制表示。 2 ，4 和 8 分别都只有一个数位为 1 ，分别为 "10" ，"100" 和 "1000" 。15 和 30 分别有 4 个数位为 1 ："1111" 和 "11110" 。
我们可以通过 4 个操作使数组有序：
- 交换 nums[0] 和 nums[1] 。8 和 4 分别只有 1 个数位为 1 。数组变为 [4,8,2,30,15] 。
- 交换 nums[1] 和 nums[2] 。8 和 2 分别只有 1 个数位为 1 。数组变为 [4,2,8,30,15] 。
- 交换 nums[0] 和 nums[1] 。4 和 2 分别只有 1 个数位为 1 。数组变为 [2,4,8,30,15] 。
- 交换 nums[3] 和 nums[4] 。30 和 15 分别有 4 个数位为 1 ，数组变为 [2,4,8,15,30] 。
数组变成有序的，所以我们返回 true 。
注意我们还可以通过其他的操作序列使数组变得有序。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5]
输出：true
解释：数组已经是有序的，所以我们返回 true 。

示例 3：

输入：nums = [3,16,8,4,2]
输出：false
解释：无法通过操作使数组变为有序。

提示：

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 2⁸

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class Solution:
    def canSortArray(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        prev = i = 0
        while i < n:
            start = i
            one_bit_cnt = nums[i].bit_count()
            i += 1
            while i < n and nums[i].bit_count() == one_bit_cnt:
                i += 1
            nums[start:i] = sorted(nums[start:i])
            if nums[start] < prev:
                return False
            prev = nums[i - 1]
        return True

Explain

题解的核心思路是首先按照数字二进制中1的个数将数组分组，然后对每个组内的元素进行排序。每个分组的元素在二进制中有相同数量的1，因此这些元素可以任意交换位置。如果按1的数量排序后的每个分组内的数值顺序可以连接起来形成一个有序序列，则返回true。否则，若有任何一个组的最小值小于前一个组的最大值，则返回false。

时间复杂度: O(n log n)

空间复杂度: O(n)

# Solution class with method to determine if array can be ordered by specified operations.

class Solution:
    def canSortArray(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums) # Get the number of elements in the array.
        prev = i = 0 # Initialize variables for tracking previous group's last element and the current index.
        while i < n: # Iterate through all elements.
            start = i # Start of the current group.
            one_bit_cnt = nums[i].bit_count() # Count of 1-bits for the current element.
            i += 1
            while i < n and nums[i].bit_count() == one_bit_cnt: # Group elements with the same 1-bit count.
                i += 1
            nums[start:i] = sorted(nums[start:i]) # Sort the current group.
            if nums[start] < prev: # Check if the current group's smallest element is smaller than the previous group's largest.
                return False # If so, sorting is not possible.
            prev = nums[i - 1] # Update the previous group's last element to the current group's last element.
        return True # If no problems, the array can be sorted.

Explore

在算法实现中，通过使用 `bit_count()` 方法来计算数组中每个元素的二进制表示中1的数量。这个计数值用来确定元素属于哪一个分组。在遍历数组的过程中，当遇到一个新元素时，如果其1的个数与当前分组的1的个数相同，则该元素加入当前分组；否则，当前分组结束，新的分组开始。这种方法确保了所有具有相同1的个数的元素被正确地分到同一个组中。

每个分组内的元素在排序后已经是有序的。因此，分组内部的顺序已经满足最小到最大的要求。在比较分组间的元素时，只需确保上一个分组的最大值不大于下一个分组的最小值。如果每个分组的起始元素（即最小值）都大于或等于前一个分组的末尾元素（即最大值），那么当所有分组连接起来时，整个数组将形成一个有序序列。因此，只需比较相邻分组的边界值即可确保整个数组的有序性。

如果连续两个分组的最小值和前一个分组的最大值相等，这本身并不会影响算法的结果。算法检查的是是否存在任何一个分组的最小值小于前一个分组的最大值的情况。只要不是小于，即使相等或大于，都是可以接受的，因为这仍然保持了整体的非递减顺序。因此，相等的情况不会导致算法返回错误的结果，而是符合整个数组可以被排序的条件。