分类求和并作差

难度: Easy

给你两个正整数 n 和 m 。

现定义两个整数 num1 和 num2 ，如下所示：

num1：范围 [1, n] 内所有 无法被 m 整除的整数之和。
num2：范围 [1, n] 内所有 能够被 m 整除的整数之和。

返回整数 num1 - num2 。

示例 1：

输入：n = 10, m = 3
输出：19
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 10] 内无法被 3 整除的整数为 [1,2,4,5,7,8,10] ，num1 = 这些整数之和 = 37 。
- 范围 [1, 10] 内能够被 3 整除的整数为 [3,6,9] ，num2 = 这些整数之和 = 18 。
返回 37 - 18 = 19 作为答案。

示例 2：

输入：n = 5, m = 6
输出：15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 6 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num1 = 这些整数之和 =  15 。
- 范围 [1, 5] 内能够被 6 整除的整数为 [] ，num2 = 这些整数之和 = 0 。
返回 15 - 0 = 15 作为答案。

示例 3：

输入：n = 5, m = 1
输出：-15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 1 整除的整数为 [] ，num1 = 这些整数之和 = 0 。 
- 范围 [1, 5] 内能够被 1 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num2 = 这些整数之和 = 15 。
返回 0 - 15 = -15 作为答案。

提示：

1 <= n, m <= 1000

Submission

运行时间: 22 ms

内存: 16.0 MB

class Solution:
    def differenceOfSums(self, n: int, m: int) -> int:
        ans = (1 + n) * n // 2
        diff = 0
        cur = m
        while cur <= n:
            diff += cur
            cur += m
        return ans - 2 * diff

Explain

该题解首先计算1到n之间所有整数的总和，这可以通过等差数列求和公式 (1 + n) * n / 2 来完成。接着，作者使用一个循环来求解1到n之间所有能被m整除的整数之和。循环变量cur从m开始，每次增加m，直到超过n为止。每次循环，将cur加到一个累加器diff中。最后，题解返回所有数的总和减去能被m整除的数的总和的两倍，得到的就是所有不能被m整除的数的总和减去能被m整除的数的总和。

时间复杂度: O(n/m)

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def differenceOfSums(self, n: int, m: int) -> int:
        # 计算从1到n的所有整数的和
        ans = (1 + n) * n // 2
        diff = 0  # 初始化被m整除的数的总和
        cur = m  # 从m开始
        while cur <= n:  # 当当前数不超过n时循环
            diff += cur  # 将当前数加到diff
            cur += m  # 将cur增加m
        # 返回所有数的总和减去被m整除的数的总和的两倍
        return ans - 2 * diff

Explore

在这个算法中，首先计算的是1到n所有整数的总和。然后，计算能被m整除的整数之和。如果我们直接从总和中减去能被m整除的整数之和，得到的是不能被m整除的整数之和。但题目要求的是不能被m整除的整数之和减去能被m整除的整数之和，因此需要再减去一次能被m整除的整数之和，即总和减去两倍的能被m整除的数之和。这样处理是为了符合题目的要求，计算出正确的差值。

确实有一种更高效的方法来计算能被m整除的数的和，而不需要逐个累加。可以使用等差数列的求和公式来直接计算。设k是n除以m的商（即n/m的整数部分），则能被m整除的数是m, 2m, 3m, ..., km。这是一个首项为m，公差也为m，项数为k的等差数列。等差数列求和公式是（首项 + 末项）* 项数 / 2，所以和为（m + km）* k / 2。这种方法只需进行常数次计算，比循环累加每个能被m整除的数要效率更高。

当m大于n时，范围[1, n]内没有任何一个数能被m整除，因此能被m整除的整数之和为0。在这种情况下，num2（能被m整除的数的和）为0。因此，num1（无法被m整除的整数之和）就等于1到n的总和，即用等差数列求和公式(1 + n) * n / 2计算。最后，返回的结果就是num1 - num2，即num1 - 0 = num1。这意味着在m大于n的情况下，直接返回1到n的总和即可。