难度: Easy
给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。
完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。
示例 1：
输入：root = [1,2,3,4,5,6] 输出：6
示例 2：
输入：root = [] 输出：0
示例 3：
输入：root = [1] 输出：1
提示：
[0, 5 * 104]0 <= Node.val <= 5 * 104
进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？
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# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
# self.val = val
# self.left = left
# self.right = right
class Solution:
def countNodes(self, root: TreeNode) -> int:
def get_height(root):
if root is None:
return 0
return get_height(root.left) + 1
height = get_height(root)
if height <= 1:
return height
if get_height(root.right) == height - 2:
return (1 << (height - 2)) + self.countNodes(root.left)
else:
return (1 << (height - 1)) + self.countNodes(root.right)
该题解采用了递归的思路，利用完全二叉树的性质来优化计算节点个数的过程。首先通过 get_height 函数递归计算完全二叉树的高度。如果高度小于等于1，直接返回高度作为节点个数。否则，通过判断右子树的高度是否等于总高度减2，如果是，说明左子树是一个满二叉树，可以直接计算左子树的节点数，再加上右子树递归计算的节点数；如果右子树高度不等于总高度减2，说明右子树是一个满二叉树，可以直接计算右子树的节点数，再加上左子树递归计算的节点数。通过这样的方式，可以避免遍历整棵树，从而降低时间复杂度。
时间复杂度: O((log n)^2)
空间复杂度: O(log n)
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
# self.val = val
# self.left = left
# self.right = right
class Solution:
def countNodes(self, root: TreeNode) -> int:
def get_height(root):
if root is None:
return 0
return get_height(root.left) + 1
height = get_height(root)
if height <= 1:
return height
# 判断右子树的高度是否等于总高度减2
if get_height(root.right) == height - 2:
# 如果是，左子树是满二叉树，计算左子树的节点数，再加上右子树递归计算的节点数
return (1 << (height - 2)) + self.countNodes(root.left)
else:
# 如果不是，右子树是满二叉树，计算右子树的节点数，再加上左子树递归计算的节点数
return (1 << (height - 1)) + self.countNodes(root.right)
在完全二叉树中，如果一个节点的左子树的高度等于右子树的高度，则该节点及其所有子树构成一个满二叉树，所以可以通过只计算左子树高度快速确定树的高度。这是因为在完全二叉树中，节点是从左到右依次填充的，左子树总是比右子树先填满或同时填满。因此，左子树的高度可以作为判断整棵树高度的关键指标。
在`get_height`函数中，基准情况是当节点不存在（即节点为`None`）时返回0。这表示树是空的，因此没有高度。这是递归计算树高度的终止条件，保证了每次递归能够在遇到叶节点的子节点时停止。
这种条件判断对于快速确定树的结构非常关键。如果右子树的高度等于总高度减2，则意味着左子树是一个满二叉树且与最底层除最右侧外完全填满，而右子树可能还未完全填满。这样可以利用满二叉树的节点数性质直接计算左子树的节点数，而不需要逐节点遍历，从而提高效率。如果不符合这个条件，则右子树是一个满二叉树，而左子树未完全填满，同样可以快速计算右子树的节点数并递归计算左子树。
在二叉树中，满二叉树的节点数可以通过计算`2^k - 1`得到，其中`k`是树的高度。在位操作中，`1 << n`表示`2^n`。因此，`(1 << (height - 2))`计算的是高度为`height-1`的满二叉树的节点数，而`(1 << (height - 1))`计算的是高度为`height`的满二叉树的节点数。这些计算利用位移操作提高计算效率，并直接得到对应高度的满二叉树的节点总数。