外观数列

标签: 字符串

难度: Medium

给定一个正整数 n ，输出外观数列的第 n 项。

「外观数列」是一个整数序列，从数字 1 开始，序列中的每一项都是对前一项的描述。

你可以将其视作是由递归公式定义的数字字符串序列：

  • countAndSay(1) = "1"
  • countAndSay(n) 是对 countAndSay(n-1) 的描述，然后转换成另一个数字字符串。

前五项如下：

1.     1
2.     11
3.     21
4.     1211
5.     111221
第一项是数字 1 
描述前一项，这个数是 1 即 “ 一 个 1 ”，记作 "11"
描述前一项，这个数是 11 即 “ 二 个 1 ” ，记作 "21"
描述前一项，这个数是 21 即 “ 一 个 2 + 一 个 1 ” ，记作 "1211"
描述前一项，这个数是 1211 即 “ 一 个 1 + 一 个 2 + 二 个 1 ” ，记作 "111221"

要 描述 一个数字字符串，首先要将字符串分割为 最小 数量的组，每个组都由连续的最多 相同字符 组成。然后对于每个组，先描述字符的数量，然后描述字符，形成一个描述组。要将描述转换为数字字符串，先将每组中的字符数量用数字替换，再将所有描述组连接起来。

例如，数字字符串 "3322251" 的描述如下图：

示例 1：

输入：n = 1
输出："1"
解释：这是一个基本样例。

示例 2：

输入：n = 4
输出："1211"
解释：
countAndSay(1) = "1"
countAndSay(2) = 读 "1" = 一 个 1 = "11"
countAndSay(3) = 读 "11" = 二 个 1 = "21"
countAndSay(4) = 读 "21" = 一 个 2 + 一 个 1 = "12" + "11" = "1211"

提示：

  • 1 <= n <= 30

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内存: 15.1 MB

class Solution:
    def countAndSay(self, n: int) -> str:
        if n == 1:
            return '1'

        ans = ""
        count = 1
        last = None
        for num_str in self.countAndSay(n-1):
            if last is None:
                last = num_str
            else:
                if last == num_str:
                    count += 1
                else:
                    ans += str(count)
                    ans += last
                    last = num_str
                    count = 1
        if count != 0:
            ans += str(count)
            ans += last
        return ans

Explain

这道题采用递归的思路来解决。对于第n项，它是对第n-1项的描述。在描述时，需要统计连续相同数字的个数，并将个数和数字一起作为描述结果。递归的base case是n等于1时，直接返回字符串'1'。

时间复杂度: O(2^n)

空间复杂度: O(2^n)

class Solution:
    def countAndSay(self, n: int) -> str:
        if n == 1:
            return '1'

        ans = ""
        count = 1
        last = None
        # 遍历上一项(第n-1项)的描述结果
        for num_str in self.countAndSay(n-1):
            if last is None:
                last = num_str
            else:
                if last == num_str:
                    # 如果当前字符与上一个字符相同，计数加1
                    count += 1
                else:
                    # 如果当前字符与上一个字符不同，将上一个字符的计数和字符添加到结果中
                    ans += str(count)
                    ans += last
                    last = num_str
                    count = 1
        # 添加最后一种字符的计数和字符
        if count != 0:
            ans += str(count)
            ans += last
        return ans

Explore

选择递归而不是迭代方法来构建外观数列是因为递归方法可以更直观地反映这个问题的自我引用特性。在外观数列中，每一项都是对前一项的描述，形成了一个自然的递归结构。递归方法允许我们直接利用前一次的结果来生成当前的结果，这种自顶向下的递归展开与问题的定义非常吻合。虽然迭代方法也可用，但递归方法在这种情况下更为清晰和直接。

在递归方法中，处理连续字符的统计是通过维护一个`count`变量来完成的，该变量记录当前连续字符的数量。在遍历字符串时，如果当前字符与上一个字符相同，则`count`变量增加；如果不同，先将前一个字符的数量和字符本身添加到结果字符串中，然后重置`count`为1，并更新`last`为当前字符。这种方法确保了连续字符的统计既不会遗漏也不会重复。

在递归方法中，处理字符串末尾字符的正确性是通过在循环结束后，再次添加最后一个字符组到结果字符串中来保证的。由于循环中只在字符变化时添加前一个字符组的统计结果，最后一个字符组不会在循环中被处理。因此，在循环结束后，需要额外添加一次，将最后一个字符组的统计结果（即`count`和`last`的当前值）添加到结果字符串中。这样确保了包括末尾字符在内的所有字符都被正确处理。

在递归过程中，避免`countAndSay(n-1)`的重复计算可以通过引入缓存机制（也称为记忆化）来实现。具体方法是使用一个哈希表或数组来存储已经计算过的`countAndSay`结果。在递归调用前，首先检查是否已经计算过当前值，如果是，则直接从缓存中返回结果，避免了重复的计算。这种技术可以显著提高递归算法的效率，特别是在处理大量数据时。