标签: 数学
难度: Easy
作为一位web开发者， 懂得怎样去规划一个页面的尺寸是很重要的。 所以，现给定一个具体的矩形页面面积，你的任务是设计一个长度为 L 和宽度为 W 且满足以下要求的矩形的页面。要求：
W 不应大于长度 L ，换言之，要求 L >= W 。L 和宽度 W 之间的差距应当尽可能小。返回一个 数组 [L, W]，其中 L 和 W 是你按照顺序设计的网页的长度和宽度。
示例1：
输入: 4 输出: [2, 2] 解释: 目标面积是 4， 所有可能的构造方案有 [1,4], [2,2], [4,1]。 但是根据要求2，[1,4] 不符合要求; 根据要求3，[2,2] 比 [4,1] 更能符合要求. 所以输出长度 L 为 2， 宽度 W 为 2。
示例 2:
输入: area = 37 输出: [37,1]
示例 3:
输入: area = 122122 输出: [427,286]
提示:
1 <= area <= 107运行时间: 35 ms
内存: 15.9 MB
class Solution:
def constructRectangle(self, area: int) -> List[int]:
mid = int(area ** 0.5)
while area % mid:
mid -= 1
return [area // mid, mid]
该题解的思路是从 area 的平方根开始，逐渐递减找到可以整除 area 的因子。这样可以保证找到的两个因子之差是最小的，且第一个因子大于等于第二个因子。
时间复杂度: O(sqrt(n))
空间复杂度: O(1)
class Solution:
def constructRectangle(self, area: int) -> List[int]:
# 从 area 的平方根开始寻找可整除 area 的因子
mid = int(area ** 0.5)
# 逐渐递减 mid，直到找到可整除 area 的因子
while area % mid:
mid -= 1
# 返回 [长度, 宽度]，长度大于等于宽度
return [area // mid, mid]
从area的平方根开始查找因子是因为平方根是因子对称性的分界线。如果area可以被某个数x整除，那么相应的另一个因子y可以表示为area/x。当x小于或等于area的平方根时，y将会大于或等于平方根。这意味着，只需要检查到平方根即可找到所有可能的因子对，这样可以大大减少需要检查的因子数量，提高效率。
选择递减mid的方式是为了尽快找到长度和宽度差距较小的因子对。从平方根向下递减查找因子，可以较快地找到较为接近的两个因子，这样得到的矩形长度和宽度差距较小，更接近于理想的接近正方形的矩形。如果从1递增到sqrt(area)，虽然也能找到因子对，但首先找到的因子对差距较大，不符合题目要求的优化目标。
当从平方根递减查找因子时，首先找到的因子对（L, W）将是在满足L>=W的条件下，L和W相差最小的。因为从平方根开始递减意味着找到的第一个因子L将尽可能接近于sqrt(area)，而对应的W = area / L也接近于sqrt(area)。这样，L和W相差最小，从而使得矩形的形状更加接近正方形。
当area为质数时，除了1和area本身外，没有其他因子。这种情况下，算法的效率会降低，因为必须从sqrt(area)递减到1，直到最后检查到因子1。因此，对于质数的area，这个方法会进行较多的迭代，这是算法效率的一个极端情况。然而，在实际情况中，这种情况并不频繁，因此算法整体上仍然具有较好的效率和实用性。