香槟塔

难度: Medium

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

提示:

0 <= poured <= 10⁹
0 <= query_glass <= query_row < 100

Submission

运行时间: 52 ms

内存: 16.0 MB

class Solution:
    def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
        f = [poured]
        for i in range(1,query_row+1):
            g = [0] * (i+1)
            for j,v in enumerate(f):
                if v > 1:
                    half = (v-1)/2
                    g[j] += half
                    g[j+1] += half
            f = g
        return min(1,f[query_glass])

Explain

这个题解使用动态规划的思路来解决香槟塔问题。我们用一个数组 f 来表示每一层的香槟量。初始时 f 只有一个元素，即倾倒的总香槟量 poured。然后我们逐层模拟香槟的流动过程，对于第 i 层的每个玻璃杯 j，如果它的香槟量超过 1，那么会有 (f[j]-1)/2 的香槟溢出到下一层的两个玻璃杯中。这样我们就可以计算出下一层每个玻璃杯中的香槟量。重复这个过程，直到我们到达了查询的目标行 query_row。最后我们返回目标行目标位置的香槟量，如果超过 1 就返回 1。

时间复杂度: O(query_row^2)

空间复杂度: O(query_row)

class Solution:
    def champagneTower(self, poured: int, query_row: int, query_glass: int) -> float:
        # 初始化 f 数组表示香槟塔的第一层，即倾倒的总香槟量
        f = [poured] 
        
        # 从第二层开始，逐层模拟香槟的流动
        for i in range(1, query_row + 1):
            # g 数组表示当前层每个玻璃杯中的香槟量
            g = [0] * (i+1) 
            
            # 遍历上一层的每个玻璃杯
            for j, v in enumerate(f):
                # 如果玻璃杯中的香槟量大于 1
                if v > 1:
                    # 计算溢出的香槟量
                    half = (v - 1) / 2
                    # 将溢出的香槟量平均分配给下一层的两个玻璃杯
                    g[j] += half
                    g[j+1] += half
                    
            # 更新 f 数组，准备模拟下一层        
            f = g
        
        # 返回目标行目标位置的香槟量，如果超过 1 就返回 1
        return min(1, f[query_glass])

Explore

在初始化时，只将`poured`赋值给数组`f`的第一个元素是因为香槟塔的最顶层只有一个玻璃杯。初始时所有倒入的香槟都会集中在这个顶层的玻璃杯中。随着算法的逐层模拟，香槟如果超出该杯容量，将会自然流向下一层的两个杯子。因此，初始状态下只需要考虑顶层的一个杯子接收所有香槟。

通过使用数组`g`来表示下一层的香槟量，我们确保了香槟的正确流向。对于当前层的每个杯子，如果其香槟量超过1，我们计算溢出的量并将其平均分配到下一层对应的两个杯子中（即杯子`j`和杯子`j+1`）。这个过程保证了香槟从上层到下层的正确流动和分配。

如果玻璃杯中的香槟量刚好等于1，这意味着没有额外的香槟溢出到下一层。在这种情况下，该杯子不会对下一层的任何杯子产生影响。因此，只有当香槟量超过1时，才需要处理溢出，以模拟香槟的流动。这样的处理简化了问题，使我们只需关注溢出情况。

该算法的时间复杂度大致为O(n^2)，其中n是`query_row`的值。对于层数非常高的情况，比如100层，这意味着需要执行大量的计算，性能可能会受到影响。虽然已经通过只处理溢出的香槟量优化了计算，但对于更高效的处理，可以考虑只模拟直到目标杯子被影响的路径，而非整个香槟塔的每一层。此外，使用其他数据结构或算法（如图论中的最短路径算法）可能会进一步优化性能。