难度: Hard
有一个立方体房间，其长度、宽度和高度都等于 n 个单位。请你在房间里放置 n 个盒子，每个盒子都是一个单位边长的立方体。放置规则如下：
x 需要放置在盒子 y 的顶部，那么盒子 y 竖直的四个侧面都 必须 与另一个盒子或墙相邻。给你一个整数 n ，返回接触地面的盒子的 最少 可能数量。
示例 1：
输入：n = 3 输出：3 解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。 这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。
示例 2：
输入：n = 4 输出：3 解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。 这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。
示例 3：
输入：n = 10 输出：6 解释：上图是 10 个盒子的摆放位置。 这些盒子放在房间的一角，对应后方位置。
提示：
1 <= n <= 109运行时间: 28 ms
内存: 16.0 MB
class Solution:
def minimumBoxes(self, n: int) -> int:
s, k = 0, 1
while s + k * (k + 1) // 2 <= n:
s += k * (k + 1) // 2
k += 1
k -= 1
ans = k * (k + 1) // 2
k = 1
while s < n:
ans += 1
s += k
k += 1
return ans
此题目的解题思路基于数学构建。首先，我们需要理解题目中的盒子放置规则和求接触地面的盒子的最少数量。这可以通过构建一个盒子堆，使得每个新增加的层都尽可能多地增加盒子，同时保持堆的稳定。\n\n算法首先尝试构建一个完全的金字塔型堆，每层比上一层多一个盒子，直到不能再构建一个完整层为止（即盒子总数不足以构建下一层）。接着，我们计算已使用盒子的总数和当前金字塔底层的盒子数。如果还有剩余的盒子未被放置，则继续在当前最上层逐个放置盒子，每放一个盒子，接触地面的盒子数加一，直到所有盒子都被放置完毕。
时间复杂度: O(sqrt(n))
空间复杂度: O(1)
class Solution:
def minimumBoxes(self, n: int) -> int:
# 初始化总盒子数s为0，层数计数器k为1
s, k = 0, 1
# 构建完整层直到盒子不足以构建新的完整层
while s + k * (k + 1) // 2 <= n:
s += k * (k + 1) // 2
k += 1
k -= 1
# 计算接触地面的最少盒子数量
ans = k * (k + 1) // 2
k = 1
# 处理剩余盒子
while s < n:
ans += 1
s += k
k += 1
return ans
构建金字塔形的盒子堆是为了实现每个新增层都尽可能多地增加盒子的目的，同时保持整个结构的稳定性。金字塔形的堆叠方式可以在保证底层盒子数量最少的情况下，尽量多地使用上层的空间。这种方式的优势在于它有助于最小化接触地面的盒子数量，因为底层的盒子可以支撑上面多层的盒子，从而减少底层的需求。其他形状如直线或其他不规则形状可能需要更多的底层盒子来维持相同数量的盒子，从而增加接触地面的盒子数。
该策略通过最大化每一层的盒子数量来尽可能减少整个堆的高度，从而最小化接触地面的盒子数。具体来说，每增加一层，都在之前的基础上多一个盒子，这样可以确保每一层都充分利用了下层的支撑，减少了需要直接接触地面的盒子数量。当不能再构建一个完整层时，说明剩余的盒子数量不足以形成一个新的完整层，此时再逐个增加盒子至顶层，确保未被使用的盒子数量最小，而不影响已构建好的底层结构。
即使对于非常大的n值，如n=100000，构建金字塔的策略仍然是有效的。这种策略在数学上是优化的，因为它保持了每层尽可能多的盒子堆叠，而底层盒子数量的增长是平方级别的，因此可以支撑极大数量的盒子。虽然计算量随n的增大而增加，但是这种方法仍然是最小化接触地面盒子数的最优策略。在实际应用中，可以考虑优化算法的实现，比如使用更高效的数据结构或者并行处理技术，以处理大规模的数据。