新增的最少台阶数

标签: 贪心 数组

难度: Medium

给你一个 严格递增 的整数数组 rungs ，用于表示梯子上每一台阶的 高度 。当前你正站在高度为 0 的地板上，并打算爬到最后一个台阶。

另给你一个整数 dist 。每次移动中，你可以到达下一个距离你当前位置（地板或台阶）不超过 dist 高度的台阶。当然，你也可以在任何正 整数 高度处插入尚不存在的新台阶。

返回爬到最后一阶时必须添加到梯子上的 最少 台阶数。

 

示例 1：

输入：rungs = [1,3,5,10], dist = 2
输出：2
解释：
现在无法到达最后一阶。
在高度为 7 和 8 的位置增设新的台阶，以爬上梯子。 
梯子在高度为 [1,3,5,7,8,10] 的位置上有台阶。

示例 2：

输入：rungs = [3,6,8,10], dist = 3
输出：0
解释：
这个梯子无需增设新台阶也可以爬上去。

示例 3：

输入：rungs = [3,4,6,7], dist = 2
输出：1
解释：
现在无法从地板到达梯子的第一阶。 
在高度为 1 的位置增设新的台阶，以爬上梯子。 
梯子在高度为 [1,3,4,6,7] 的位置上有台阶。

示例 4：

输入：rungs = [5], dist = 10
输出：0
解释：这个梯子无需增设新台阶也可以爬上去。

 

提示：

  • 1 <= rungs.length <= 105
  • 1 <= rungs[i] <= 109
  • 1 <= dist <= 109
  • rungs 严格递增

Submission

运行时间: 42 ms

内存: 28.6 MB

class Solution:
    def addRungs(self, rungs: List[int], dist: int) -> int:
        n = len(rungs)
        ans = 0
        cur = 0
        for x in rungs:
            m = x - cur
            if m > dist:
                ans += (m + dist -1)//dist -1
            cur = x
        return ans

Explain

该题解通过遍历数组 rungs 来检查相邻台阶之间的距离，从而确定是否需要插入新的台阶。变量 cur 表示当前所在的台阶高度，开始时设置为0（地面高度）。对于每个台阶 x，计算从 cur 到 x 的距离 m（m = x - cur）。如果 m 大于给定的最大距离 dist，则计算需要添加的台阶数，公式为 ((m + dist - 1) // dist - 1)，其中用到了整除向上的技巧以确定覆盖 m 距离需要多少个 dist 长的步进。遍历结束后，变量 ans 将包含总共需要添加的台阶数。

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(1)

class Solution:
    def addRungs(self, rungs: List[int], dist: int) -> int:
        n = len(rungs)  # 获取台阶数量
        ans = 0  # 用于累计需要添加的台阶数
        cur = 0  # 当前的高度，起始为0（地面）
        for x in rungs:  # 遍历每一个台阶
            m = x - cur  # 计算当前台阶和前一个台阶（或地面）之间的差距
            if m > dist:  # 如果差距超过了可以直接到达的最大距离
                ans += (m + dist - 1) // dist - 1  # 计算需要增加的台阶数
            cur = x  # 更新当前的高度为最新的台阶
        return ans  # 返回总共需要添加的台阶数

Explore

这个公式的使用是为了实现向上取整除法，从而准确计算必要的额外台阶数。如果直接使用 m // dist，则会得到向下取整的结果，这可能导致计算出的台阶数不足以覆盖从一个台阶到下一个台阶的距离。比如，如果 m = 5 且 dist = 3，直接除法得到 1，但实际上需要两个台阶（3 和 6）才能到达或超过 5。所以，使用 ((m + dist - 1) // dist - 1) 计算首先将 m 增加 dist - 1，这样除以 dist 后能够实现向上取整的效果。然后减 1 是因为这个计算包括了从当前台阶到下一个台阶的整个距离，而不是仅仅新增的台阶数。

是的，如果 m 恰好等于 dist，那么根据题目设定，这是可以直接从当前台阶跳到下一个台阶的最大距离。因此，在这种情况下，不需要添加新的台阶。只有当 m 大于 dist 时，才表明距离超出了单次跳跃所能达到的最大范围，这时候才需要添加额外的台阶来保证可以从一个台阶跳到下一个台阶。

题解中的方法不需要考虑从最后一个台阶再向上的情况，因为题目的目标是确保能够到达每个给定的台阶，而不是超过它。题解中只考虑确保每一步都能从当前台阶达到下一个指定的台阶。因此，只要最后一个台阶能够通过之前的台阶达到，就不需要在最后添加额外的台阶。

在题解中，变量 cur 被初始化为0（地面的高度），并且在每次循环中，都会更新为最新处理过的台阶的高度 x。这样确保了 cur 总是表示当前的高度位置，无论是地面还是最近处理过的台阶。由于这种更新是直接赋值而非基于前一个值的计算，因此不会出现误差累积的问题。每次都是直接设置为具体的台阶高度，所以计算是准确的。